หลักสูตรเบื้องต้นด้านความน่าจะเป็น: จากเหตุการณ์ที่ไม่มีเงื่อนไขสู่เหตุการณ์ที่มีเงื่อนไข: พลังของข้อมูล

การคิดวิเคราะห์เชิงความน่าจะเป็นไม่ใช่การคำนวณที่คงที่; มันเป็นกระบวนการแบบไดนามิกในการปรับเปลี่ยนความเชื่อ ในการ ไม่มีเงื่อนไข สถานะ เราสมมุติว่าอยู่ในสภาพความไม่รู้ทั่วไป ซึ่งผลลัพธ์ทั้งหมดในชุดตัวอย่าง $S$ เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม, ข้อมูลคือกรองทางคณิตศาสตร์ ที่กำจัดผลลัพธ์ที่ไม่สอดคล้องกับความจริงที่สังเกตได้

เมื่อเราพูดว่าเหตุการณ์ $F$ เกิดขึ้นแล้ว เราจะเปลี่ยนจากชุดตัวอย่างทั่วโลก $S$ ไปยังเอกภพจำกัด $F$ ความน่าจะเป็นเงื่อนไขของ $E$ เมื่อรู้ว่า $F$ เกิดขึ้น หรือ $P(E|F)$ ก็คือสัดส่วนของชุดใหม่ $F$ ที่เหตุการณ์ $E$ เกิดขึ้นด้วย

เรื่องราวของหลักฐาน

การเปลี่ยนแปลงจาก $P(E)$ ไปยัง $P(E|F)$ เป็นรากฐานทางคณิตศาสตร์ของ การประมาณค่าโดยอิงจากหลักฐานหาก $P(E|F) > P(E)$ หลักฐาน $F$ จะสนับสนุนสมมุติฐาน $E$ หาก $P(E|F) < P(E)$ หลักฐาน $F$ จะขัดแย้งกับ $E$

การลดทอนตัวเลือกอาหาร

ลองนึกภาพงานเลี้ยงที่มีเมนูอาหารคงที่ดังนี้:

คอร์ส	ตัวเลือก
จานหลัก	ไก่, หมูอบ (2)
อาหารเสริม	พาสต้า, ข้าว, มันเทศ (3)
ของหวาน	ไอศกรีม, แจลโล, แอปเปิ้ลพาย, ลูกพลัม (4)

ชุดตัวอย่างที่ไม่มีเงื่อนไข: มีจำนวนการจัดชุดอาหารที่เป็นไปได้ทั้งหมด $2 \times 3 \times 4 = 24$ ชุด ดังนั้น $P(\text{พาสต้า}) = 8/24 = 1/3$

ข้อมูลที่มีเงื่อนไข: เราทราบว่าแขกคนหนึ่งเป็นมังสวิรัติ และแน่นอนว่าเลือกทาน "พาสต้า" ทำให้การเลือกอาหารเสริมของเราถูกกำหนดไว้แล้ว (1 ตัวเลือก) ตัวหารของชุดตัวอย่างของเราลดลงจาก 24 เป็น $2 \times 1 \times 4 = 8$ นี่คือพลังของข้อมูล: มันทำให้ชุดตัวอย่างแคบลง และเปลี่ยนตัวหาร

นิยามสูตร

สำหรับเหตุการณ์ใด ๆ $E$ และ $F$ หาก $P(F) > 0$ ความน่าจะเป็นเงื่อนไขนิยามว่าเป็น:

$$P(E|F) = \frac{P(EF)}{P(F)}$$

🎯 หลักสำคัญ

ความน่าจะเป็นเงื่อนไขแสดงถึง การคำนวณใหม่ของความน่าจะเป็นข้อมูลช่วยลดความไม่แน่นอนโดยกำจัดส่วนของชุดตัวอย่างที่ไม่เกิดขึ้น ทำให้เราต้องประเมินเหตุการณ์ที่เหลืออยู่ใหม่ โดยเทียบกับเอกภพใหม่ที่เล็กลง $F$

คำถามที่ 1

3.1. โยนลูกเต๋าสองลูกที่สมดุล ความน่าจะเป็นเงื่อนไขที่อย่างน้อยหนึ่งลูกออกหัว 6 เมื่อรู้ว่าลูกเต๋าออกตัวเลขต่างกันคืออะไร?

$1/3$

$5/18$

$1/6$

$10/36$

คำถามที่ 2

การตรวจเลือดในห้องปฏิบัติการมีประสิทธิภาพ 95% ในการตรวจพบโรคชนิดหนึ่งเมื่อโรคปรากฏอยู่จริง แต่การตรวจก็ให้ผลบวกปลอม (false positive) สำหรับผู้ที่มีสุขภาพดี 1% ของผู้ที่ตรวจ หากประชากร 0.5% มีโรคจริง ๆ ความน่าจะเป็นที่บุคคลจะมีโรคเมื่อรู้ว่าผลการตรวจเป็นบวกคือเท่าใด?

0.0455

0.9500

0.0050

0.3233

คำถามที่ 3

ในหมู่บ้านแห่งหนึ่ง การดูแลพ่อแม่ที่อายุมากเป็นหน้าที่ของลูกชายคนโต ผู้หญิงในหมู่บ้านนี้ ที่ต้องการหลีกเลี่ยงภาระหน้าที่ตลอดชีวิตนี้ จึงเริ่มหลีกเลี่ยงการแต่งงานกับลูกชายคนโต หากผู้หญิงคนหนึ่งพบชายคนหนึ่งจากครอบครัวที่มีลูกสองคนในหมู่บ้านนี้ และรู้ว่าเขานั้นไม่ใช่ลูกคนเดียว ความน่าจะเป็นที่เขาจะเป็นลูกชายคนโตเมื่อรู้ว่าเขามีพี่น้องชายคือเท่าใด?

$1/2$

$1/3$

$2/3$

$1/4$

คำถามที่ 4

หยิบการ์ดสองใบแบบสุ่มโดยไม่ใส่กลับจากสำรับการ์ดปกติ 52 ใบ ให้ B เป็นเหตุการณ์ที่ทั้งสองใบเป็นเอซ และ A เป็นเหตุการณ์ที่อย่างน้อยหนึ่งใบเป็นเอซ ความน่าจะเป็น $P(B|A)$ เท่ากับเท่าใด?

$1/33$

$1/17$

$6/1326$

$1/221$

คำถามที่ 5

ข้อใดต่อไปนี้อธิบาย 'ข้อผิดพลาดของโจทก์' ที่กล่าวถึงในบริบทของหลักฐานดีเอ็นเอได้ดีที่สุด?

สับสนระหว่าง $P(\text{หลักฐาน} | \text{ไม่ผิด})$ กับ $P(\text{ไม่ผิด} | \text{หลักฐาน})$

สมมุติว่าหลักฐานดีเอ็นเอมีความแม่นยำ 100% เสมอ

ละเลยความเป็นไปได้ของการผิดพลาดในห้องแล็บ

ใช้ความน่าจะเป็นเบื้องต้นเป็นศูนย์สำหรับจำเลย

ท้าทาย: การค้นหาเครื่องบินที่หายไป

การตั้งเงื่อนไขแบบลำดับและปรับปรุงการค้นหา

เครื่องบินหายไป และสมมุติว่ามีโอกาสเท่ากันที่จะตกอยู่ในหนึ่งในสามพื้นที่ที่เป็นไปได้ ($P(R_i) = 1/3$ สำหรับ $i=1, 2, 3$) ให้ $1 - \beta_i$ แทนความน่าจะเป็นที่จะพบเครื่องบินเมื่อทำการค้นหาพื้นที่ที่ $i$ หากเครื่องบินอยู่ที่นั่นจริง (ดังนั้น $\beta_i$ คือความน่าจะเป็นที่การค้นหาจะล้มเหลว ทั้งที่เครื่องบินอยู่ที่นั่น) ล้มเหลว การค้นหา ทั้งที่เครื่องบินอยู่ที่นั่น)

คำถามที่ 1

สมมุติว่ามีการค้นหาพื้นที่ 1 และไม่พบเครื่องบิน ความน่าจะเป็นเงื่อนไขที่เครื่องบินอยู่ในพื้นที่ 1 จริง ๆ คือเท่าใด?

คำตอบ:
ให้ $E$ เป็นเหตุการณ์ที่การค้นหาในพื้นที่ 1 ล้มเหลว
โดยสูตรเบย์ส: $P(R_1|E) = \frac{P(E|R_1)P(R_1)}{P(E|R_1)P(R_1) + P(E|R_2)P(R_2) + P(E|R_3)P(R_3)}$
เนื่องจาก $P(E|R_1) = \beta_1$ และ $P(E|R_2) = P(E|R_3) = 1$ (ถ้าอยู่ในพื้นที่อื่น การค้นหาพื้นที่ 1 จะล้มเหลวแน่นอน):
$$P(R_1|E) = \frac{\beta_1(1/3)}{\beta_1(1/3) + 1(1/3) + 1(1/3)} = \frac{\beta_1}{\beta_1 + 2}$$

คำถามที่ 2

ความน่าจะเป็นเงื่อนไขที่เครื่องบินอยู่ในพื้นที่ 2 ($i=2$) เมื่อรู้ว่าการค้นหาพื้นที่ 1 ล้มเหลว คือเท่าใด?

คำตอบ:
ใช้ตัวหารเดียวกันจากคำถามที่ 1:
$$P(R_2|E) = \frac{P(E|R_2)P(R_2)}{\sum P(E|R_i)P(R_i)} = \frac{1(1/3)}{\frac{1}{3}(\beta_1 + 1 + 1)} = \frac{1}{\beta_1 + 2}$$
สังเกตว่าเนื่องจาก $\beta_1 < 1$ ความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะอยู่ในพื้นที่ 2 ได้ เพิ่มขึ้น จาก $1/3$ เป็นค่าที่มากกว่า ($1/(\beta_1+2) > 1/3$)